고1 · 이차함수 × 원과 좌표

조건이 숨긴 세 직선

원의 개수 조건으로 이차함수를 찾아 $f (20)$ 구하기

이차함수

y = f (x)

가 있다. 중심이

y = f (x)

의 그래프 위에 있고 반지름의 길이가 1인 원 중에서 다음 조건을 만족시키는 중심이 서로 다른 원의 개수는 5이다. 원을

x

축의 방향으로

m

만큼,

y

축의 방향으로

m

만큼 평행이동한 원이 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접하도록 하는 실수

m

의 값이 1개 이상 존재한다. 이 5개의 원의 중심의

x

좌표를 작은 수부터 크기 순서대로

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}

라 하자.

x_{1} = 0, x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 20

이고

x_{1} \leq x \leq x_{5}

에서 함수

f (x)

의 최솟값이 0보다 클 때,

f (20)

의 값을 구하시오. [4점]

1조건이 무슨 말인지부터 풀자

문제에서 제일 복잡해 보이는 건 가운데 상자 안의 조건이다. 여기만 번역하면 나머지는 쉽다.

① 중심에 이름을 붙인다. 원의 중심이 $y = f (x)$ 위에 있으니 중심은 $(t, f (t))$ 꼴이다. 반지름은 1.

② 평행이동하면 중심이 어디로 가나? $x$ 축으로 $m$ , $y$ 축으로 $m$ 이동하면

(t, f (t)) ⟶ (t + m, f (t) + m)

$x$ 와 $y$ 에 똑같이 $m$ 을 더한다. 그러니 중심은 기울기가 1인 직선을 따라 미끄러진다.

③ 어디에 도착해야 하나? 반지름 1인 원이 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접하려면, 중심에서 두 축까지 거리가 모두 1이어야 한다. 그런 점은 네 개뿐이다.

(1, 1), (- 1, 1), (- 1, - 1), (1, - 1)

반지름 1인 원이 두 축에 동시에 접하는 경우는 네 가지. 그 네 중심을 지나는 기울기 1인 직선을 그으면

y = x

(두 점을 한꺼번에 지난다),

y = x + 2

y = x - 2

— 딱 세 개다.

중심 $(t, f (t))$ 가 기울기 1 방향으로 움직여서 저 네 점 중 하나에 닿아야 한다. 즉 중심은 세 직선 $y = x$ , $y = x + 2$ , $y = x - 2$ 중 하나 위에 있어야 한다.

2알아야 할 건 딱 두 가지

열쇠 1

조건을 만족하는 $t$ 는 세 식 중 하나를 만족한다

$(t, f (t))$ 를 지나는 기울기 1인 직선은 $y = x + (f (t) - t)$ . 이 직선이 $(1, 1)$ 이나 $(- 1, - 1)$ 을 지나면 $f (t) - t = 0$ , $(- 1, 1)$ 을 지나면 $f (t) - t = 2$ , $(1, - 1)$ 을 지나면 $f (t) - t = - 2$ .

f (t) - t = 0 또는 2 또는 - 2

세 경우를 따로 풀지 말고, $g (x) = f (x) - x$ 하나로 묶자. 그러면 조건은 $g (t) = 0, 2, - 2$ 가 된다.

열쇠 2

$g (x) = k$ 의 해 개수는 꼭짓점이 정한다

$f$ 가 이차함수면 $g (x) = f (x) - x$ 도 이차함수다. 꼭짓점을 $(p, q)$ 라 하고 아래로 볼록이라 하면, $g (x) = k$ 의 해는 $k > q$ 면 2개, $k = q$ 면 1개, $k < q$ 면 0개.

우리가 볼 $k$ 는 $- 2, 0, 2$ 세 개. 해의 개수를 다 더해서 5가 되어야 하니 $2 + 2 + 1$ 밖에 없다. 즉 셋 중 하나와는 접한다.

3풀이

어느 값에서 접하는지 정한다

$g$ 가 아래로 볼록( $a > 0$ )이라고 해 보자. 가장 작은 값 $- 2$ 에서 접해야 개수가 맞는다.

k 해의 개수 - 2 1 0222 \Rightarrow 합 5

그러니 $g$ 의 최솟값이 $- 2$ 다. 꼭짓점의 $x$ 좌표를 $p$ 라 하면

g (x) = a (x - p)^{2} - 2

왜 2+2+1뿐일까 최솟값이 $- 2$ 보다 작으면 $2 + 2 + 2 = 6$ , $- 2$ 와 $0$ 사이면 $0 + 2 + 2 = 4$ , $0$ 이면 $0 + 1 + 2 = 3$ . 5가 되는 건 한 가지뿐이다. (위로 볼록인 경우는 4단계에서 확인한다.)

대칭을 이용해 $p$ 를 구한다

다섯 개의 근은 모두 $x = p$ 를 기준으로 좌우 대칭이다. 접점 $p$ 하나, 그리고 양옆으로 두 쌍.

대칭인 두 수의 합은 $2 p$ 이므로, 다섯 수를 모두 더하면

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 5 p

문제에서 $x_{1} = 0$ 이고 $x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 20$ 이므로 왼쪽은 $0 + 20 = 20$ .

5 p = 20 ⟹ p = 4

이게 핵심 근을 하나도 구하지 않고 $p$ 가 나왔다. 이차함수의 근은 항상 축에 대해 대칭이라는 성질만 썼다.

가장 바깥 근으로 $a$ 를 구한다

$x_{1}$ 과 $x_{5}$ 는 가장 멀리 떨어진 두 근이니, $k$ 가 가장 큰 $g (x) = 2$ 의 해다. $x_{1} = 0$ 이고 대칭이므로 $x_{5} = 2 p - x_{1} = 8$ .

g (0) = 2 ⟹ a (0 - 4)^{2} - 2 = 2 ⟹ 16 a = 4

a = \frac{1}{4}, g (x) = \frac{1}{4} (x - 4)^{2} - 2

순서가 중요 $p$ 를 먼저 구했기 때문에 $a$ 는 대입 한 번으로 끝난다. 반대로 하면 미지수 두 개짜리 연립이 된다.

최솟값 조건으로 볼록 방향을 확정한다

$f (x) = g (x) + x$ 이므로

f (x) = \frac{1}{4} (x - 4)^{2} - 2 + x = \frac{1}{4} x^{2} - x + 2 = \frac{1}{4} (x - 2)^{2} + 1

$x_{1} \leq x \leq x_{5}$ , 즉 $0 \leq x \leq 8$ 에서 최솟값은 $f (2) = 1 > 0$ . 조건을 만족한다.

만약 $g$ 가 위로 볼록이었다면 최댓값이 $2$ 가 되어 $g (x) = - \frac{1}{4} (x - 4)^{2} + 2$ , 즉 $f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 2$ . 이때 $[0, 8]$ 에서 최솟값은

f (0) = - 2 < 0 \times

이라서 최솟값 조건에 걸려 탈락한다. 그래서 아래로 볼록이 맞다.

조건의 정체 "최솟값이 0보다 크다"는 두 경우 중 하나를 버리라고 넣어둔 장치다. 쓸모없어 보이는 조건이 나오면 버릴 경우가 숨어 있다고 생각하자.

답 구하기

$f (x) = \frac{1}{4} (x - 2)^{2} + 1$ 에 $x = 20$ 을 넣는다.

f (20) = \frac{1}{4} \cdot 1 8^{2} + 1 = \frac{324}{4} + 1 = 81 + 1

답

f (20) = 82

4정말 맞는지 확인해보기

$g (x) = \frac{1}{4} (x - 4)^{2} - 2$ 로 다섯 점을 직접 세어보자.

✓ $g (x) = 2$ : $(x - 4)^{2} = 16$ → $x = 0, 8$ 2개
✓ $g (x) = 0$ : $(x - 4)^{2} = 8$ → $x = 4 \pm 22$ 2개
✓ $g (x) = - 2$ : $(x - 4)^{2} = 0$ → $x = 4$ 1개(접함) → 모두 더해 5개
✓ $x_{1} = 0$ 이고 $x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = (4 - 22) + 4 + (4 + 22) + 8 = 20$
✓ $[0, 8]$ 에서 $f$ 의 최솟값 $= f (2) = 1 > 0$

초록 포물선이

y = f (x)

. 세 직선과 만나는 점이 정확히 다섯 개이고,

y = x - 2

와는

x = 4

에서 접한다. 다섯 점이

x = 4

를 중심으로 좌우 대칭인 것도 보인다.

5이런 실수를 조심하자

세 방정식을 따로 푸는 것 $f (t) = t$ , $f (t) = t + 2$ , $f (t) = t - 2$ 를 각각 풀면 계산이 세 배가 된다. $g (x) = f (x) - x$ 하나로 묶으면 같은 포물선을 높이만 바꿔가며 자르는 문제가 된다.
합에 $x_{1}$ 을 빠뜨리기 대칭에서 나오는 건 다섯 개 전부의 합 $= 5 p$ 다. 문제가 준 것은 $x_{2} + \dots + x_{5} = 20$ 이므로 $x_{1} = 0$ 을 더해서 $5 p = 20$ 으로 써야 한다.
위로 볼록인 경우를 확인 안 하기 $a$ 의 부호를 정해주는 건 마지막 최솟값 조건뿐이다. 두 경우를 모두 따져야 답이 하나로 정해진다.
$f$ 대신 $g$ 에 20을 넣기 $g (20) = \frac{1}{4} \cdot 1 6^{2} - 2 = 62$ 이고 여기에 $x = 20$ 을 더해야 $f (20) = 82$ 다.

★ $x$ 와 $y$ 에 같은 값을 더하는 이동은 $y = x$ 방향 이동. 이걸 알아차리는 게 이 문제의 출발점이다.
★"반지름 $r$ 인 원이 두 축에 동시에 접한다" ⟹ 중심은 $(\pm r, \pm r)$ . 자주 나오는 장치다.
★이차함수의 근은 축에 대해 대칭. 근을 구하지 않고도 합을 알 수 있다.

가우스수학전문학원