고1 · 도형의 방정식 × 이차함수

지름이 만드는 두 직각

원 $C$ 와 포물선이 만나는 네 점 · 넓이가 5배일 때 $f (k) \times g (- k)$ 구하기

두 양수

a, m

에 대하여 두 함수

f (x) = a x^{2}

g (x) = m x + 4 a

라 하자. 곡선

y = f (x)

와 직선

y = g (x)

가 만나는 두 점을

A, B

라 할 때, 선분 AB를 지름으로 하고 원점 O를 지나는 원 $C$ 가 있다. 원

C

와 곡선

y = f (x)

는 서로 다른 네 점에서 만나고, 그 네 점 중

O, A, B

가 아닌 점을

P (k, f (k))

라 하자. 삼각형 ABP의 넓이가 삼각형 AOB의 넓이의 5배일 때,

f (k) \times g (- k)

의 값을 구하시오. [4점]

1그림부터 천천히 보자

초록 곡선이 $y = f (x) = a x^{2}$ . $a > 0$ 이니까 위로 열린 포물선이고, 꼭짓점은 원점이다.
파란 직선이 $y = g (x) = m x + 4 a$ . 이 직선이 포물선을 지나가며 만든 두 점이 A와 B다.
보라 원이 원 $C$ . 선분 AB가 이 원의 지름이라서 빨간 굵은 선으로 표시했다.
원 $C$ 는 포물선과 네 점에서 만난다. 그중 셋이 $O, A, B$ 이고, 남은 하나가 P다.
주황 삼각형이 $△ AOB$ , 초록 삼각형이 $△ ABP$ . 두 삼각형은 밑변 AB를 함께 쓴다. 점선이 각각의 높이다.

그림에서 꼭 봐야 할 것은 빨간 직각 표시 두 개. 왜 저기가 직각인지 알면 이 문제는 풀린다.

2알아야 할 건 딱 두 가지

열쇠 1

지름을 보면 반사적으로 $9 0^{\circ}$

AB가 지름이면, 원 위의 어느 점에서 A와 B를 바라봐도 각이 $9 0^{\circ}$ 다. (중3에서 배운 내용)

O도 원 위에 있고 P도 원 위에 있으니, 직각이 두 개 생긴다.

∠ AOB = 9 0^{\circ} (\overline{OA} ⊥ \overline{OB}) ∠ APB = 9 0^{\circ} (\overline{PA} ⊥ \overline{PB})

그리고 수직이면 두 직선의 기울기를 곱했을 때 $- 1$ . 이걸로 식 두 개를 만든다.

열쇠 2

포물선 위 두 점을 이은 기울기 $= a \times$ (두 $x$ 좌표의 합)

포물선 $y = a x^{2}$ 위의 두 점 $(s, a s^{2})$ , $(t, a t^{2})$ 을 이으면 기울기는

\frac{a t ^{2} - a s ^{2}}{t - s} = \frac{a ( t + s ) ( t - s )}{t - s} = a (s + t)

분자를 합차공식으로 인수분해하면 약분되어 이렇게 간단해진다.

원점 O도 포물선 위의 점( $s = 0$ )이다. 그러니 O와 $(t, a t^{2})$ 을 이은 기울기는 그냥 $a t$ .

3풀이

A, B의 $x$ 좌표에 이름을 붙인다

A와 B는 곡선과 직선이 만나는 점이니까 $a x^{2} = m x + 4 a$ . 한쪽으로 몰면

a x^{2} - m x - 4 a = 0

이 이차방정식의 두 근을 $α, β$ 라 하자. 그러면 $A (α, a α^{2})$ , $B (β, a β^{2})$ 이고, 근과 계수의 관계로

α + β = \frac{m}{a}, α β = \frac{- 4 a}{a} = - 4

왜 이렇게? 교점의 좌표를 직접 구하면 근호가 나와서 끔찍해진다. 합과 곱만 들고 가자. 특히 $α β = - 4$ 는 $a$ , $m$ 과 상관없는 고정된 값이라 아주 강력하다.

O에서의 직각으로 $a$ 를 구한다

열쇠 2에 의해 $\overline{OA}$ 의 기울기는 $a α$ , $\overline{OB}$ 의 기울기는 $a β$ . 두 선이 수직이므로 곱이 $- 1$ 이다.

(a α) (a β) = - 1 ⟹ a^{2} α β = - 1 a^{2} \cdot (- 4) = - 1

a^{2} = \frac{1}{4} a > 0 a = \frac{1}{2}

눈여겨볼 점 "원점을 지난다"는 조건 한 줄이 $a$ 를 혼자서 결정해 버렸다. 조건은 값이 바로 나오는 것부터 쓰는 게 좋다.

P에서의 직각으로 $k$ 를 나타낸다

$P (k, a k^{2})$ 도 포물선 위의 점이다. 열쇠 2를 그대로 쓰면

(\overline{PA} 의 기울기) = a (k + α) (\overline{PB} 의 기울기) = a (k + β)

수직이니까 두 기울기의 곱이 $- 1$ :

a^{2} (k + α) (k + β) = - 1 \frac{1}{4} (k^{2} + (α + β) k + α β) = - 1

여기에 $α + β = \frac{m}{a} = 2 m$ 과 $α β = - 4$ 를 넣으면

k^{2} + 2 mk - 4 = - 4 ⟹ k^{2} + 2 mk = 0 k (k + 2 m) = 0

P는 O가 아니므로 $k \neq = 0$ . 따라서 $k = - 2 m$ 이고, $f (k) = \frac{1}{2} (- 2 m)^{2} = 2 m^{2}$ 이므로 $P (- 2 m, 2 m^{2})$ .

좋은 신호 $- 4$ 가 양쪽에서 지워지면서 이차식이 통째로 사라졌다. 이렇게 깔끔하게 떨어지면 계산이 맞다는 신호다.

넓이 조건으로 $m$ 을 구한다

$△ AOB$ 와 $△ ABP$ 는 밑변 AB가 공통이다. 그러니 넓이 비는 높이 비와 같다.

\frac{△ ABP}{△ AOB} = \frac{P 의 높이}{O 의 높이} = 5

$a = \frac{1}{2}$ 이므로 직선 AB는 $y = m x + 2$ , 즉 $m x - y + 2 = 0$ . 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰면

O 에서 : \frac{∣2∣}{m ^{2} + 1} P 에서 : \frac{m ( - 2 m ) - 2 m ^{2} + 2}{m ^{2} + 1} = \frac{2 - 4 m ^{2}}{m ^{2} + 1}

분모가 같으니 분자끼리만 비교하면 된다.

\frac{∣2 - 4 m ^{2} ∣}{2} = 5 ⟹ ∣1 - 2 m^{2} ∣ = 5

1 - 2 m^{2} = - 5 \Rightarrow m^{2} = 3 1 - 2 m^{2} = 5 \Rightarrow m^{2} = - 2 (불가능)

$m > 0$ 이므로 $m = 3$ .

습관 들이기 절댓값이 나오면 두 경우를 다 써 보고 안 되는 쪽을 버리자. 한 경우만 풀면 답을 놓치거나 감점된다.

답 구하기

$m^{2} = 3$ 이므로 $k = - 2 m = - 23$ . 넣을 값은 $k$ 가 아니라 $- k = 23$ 이라는 점에 주의하자.

f (k) = 2 m^{2} = 6 g (- k) = g (2 m) = m \cdot 2 m + 4 a = 2 m^{2} + 2 = 8

답

f (k) \times g (- k) = 6 \times 8 = 48

4정말 맞는지 확인해보기

$a = \frac{1}{2}, m = 3$ 을 넣으면 $x^{2} - 23 x - 4 = 0$ 에서 $α = 3 - 7$ , $β = 3 + 7$ .

✓ $α β = 3 - 7 = - 4$ 맞고, $α + β = 23 = 2 m$ 도 맞다.
✓AB의 중점은 $(3, 5)$ , 반지름은 $27$ . 중점에서 O까지 $3 + 25 = 27$ , $P (- 23, 6)$ 까지 $27 + 1 = 27$ — O와 P 모두 원 위에 있다.
✓높이는 O까지 $\frac{2}{2} = 1$ , P까지 $\frac{∣ - 6 - 6 + 2∣}{2} = 5$ — 정확히 5배.

5이런 실수를 조심하자

$g (- k)$ 에 $k$ 를 그대로 넣기 넣어야 할 값은 $- k = + 23$ 이다. 부호를 한 번 더 확인하자. 여기서 틀리는 학생이 가장 많다.
$k = 0$ 을 버리지 않기 $k (k + 2 m) = 0$ 에서 $k = 0$ 은 점 O 자신이라 P가 될 수 없다. 버릴 근은 반드시 걸러내자.
절댓값을 한 경우만 풀기 두 경우를 모두 써 보고, 안 되는 쪽은 왜 안 되는지 근거를 적고 버려야 한다.

★"지름"이라는 말을 보면 $9 0^{\circ}$ 를 떠올리자. 이 문제는 그 직각을 두 번 쓴다.
★포물선 위 두 점의 기울기 $= a \times$ ( $x$ 좌표의 합) — 이 공식 하나로 2단계와 3단계가 거의 암산이 된다.
★교점의 좌표는 직접 구하지 말자. 근과 계수의 관계(합·곱)만으로 끝까지 갈 수 있다.

가우스수학전문학원