고1 · 도형의 방정식 — 원과 직선

이등분선 위의 세 중심

두 직선에 동시에 접하는 원 3개로 이차함수를 찾아 $f (4) \times f (6)$ 구하기

두 실수

a, b

에 대하여 이차함수

f (x) = a (x - b)^{2}

이 있다. 중심이 $y = f (x)$ 의 그래프 위에 있고 직선

y = \frac{4}{3} x

와

x

축에 동시에 접하는 서로 다른 원의 개수는 3이다. 이 세 원의 중심의

x

좌표를 각각

x_{1}, x_{2}, x_{3}

이라 할 때, 세 실수가 다음을 만족시킨다. (가)

x_{1} \times x_{2} \times x_{3} > 0

(나) 세 점

(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2})), (x_{3}, f (x_{3}))

을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 $y$ 좌표는 $- \frac{7}{3}$ 이다.

f (4) \times f (6)

의 값을 구하시오. [4점]

1"동시에 접한다"를 번역하자

① 접한다 = 거리가 반지름이다. 원이 어떤 직선에 접하면, 중심에서 그 직선까지의 거리가 곧 반지름이다.

② 두 직선에 동시에 접하면? 반지름은 하나뿐이니, 중심에서 두 직선까지의 거리가 서로 같아야 한다. 그런 점을 모으면 각의 이등분선이 된다. 두 직선이 이루는 각은 두 종류(예각·둔각)라서 이등분선도 두 개다.

어느 원이든 중심에서

x

축까지, 직선

y = \frac{4}{3} x

까지의 거리가 모두 반지름

r

로 같다. 그런 중심은 보라 점선

y = \frac{x}{2}

또는 초록 점선

y = - 2 x

위에 있다.

③ 중심은 포물선 위에도 있어야 한다. 그러니 원의 중심은 포물선과 두 이등분선이 만나는 점이다.

원이 3개 = 교점이 3개. 이차함수와 직선은 최대 2개씩 만나므로 3 = 2 + 1, 즉 한쪽 이등분선과는 접한다. 여기서 판별식이 나온다.

2알아야 할 건 딱 두 가지

열쇠 1

이등분선은 거리공식 한 줄로 나온다

직선 $y = \frac{4}{3} x$ 를 $4 x - 3 y = 0$ 으로 고치면 분모는 $4^{2} + 3^{2} = 5$ . 중심 $(x, y)$ 에서 $x$ 축까지 거리는 $∣ y ∣$ 이므로

∣ y ∣ = \frac{∣4 x - 3 y ∣}{5} ⟹ 5 y = \pm (4 x - 3 y)

y = \frac{x}{2} 또는 y = - 2 x

절댓값을 벗길 때 부호가 둘이라서 직선도 둘. 이게 두 이등분선이다.

열쇠 2

조건 (나)가 $a$ 의 부호를 먼저 알려준다

무게중심의 $y$ 좌표는 세 $y$ 좌표의 평균이다.

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} ) + f ( x _{3} )}{3} = - \frac{7}{3} ⟹ f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) = - 7

합이 음수인데, 만약 $a > 0$ 이면 $f (x) = a (x - b)^{2} \geq 0$ 이라 합이 음수일 수 없다. 따라서 $a < 0$ . 포물선은 위로 볼록하고 꼭짓점 $(b, 0)$ 에서 $x$ 축에 닿는다.

3풀이

두 이등분선과 각각 연립한다

포물선 $f (x) = a (x - b)^{2}$ 를 두 직선과 각각 연립해서 판별식을 계산하자.

㉠ $y = \frac{x}{2}$ 와 연립

a (x - b)^{2} = \frac{x}{2} ⟹ 2 a x^{2} - (4 ab + 1) x + 2 a b^{2} = 0 D_{1} = (4 ab + 1)^{2} - 16 a^{2} b^{2} = 8 ab + 1

㉡ $y = - 2 x$ 와 연립

a (x - b)^{2} = - 2 x ⟹ a x^{2} - 2 (ab - 1) x + a b^{2} = 0 \frac{D _{2}}{4} = (ab - 1)^{2} - a^{2} b^{2} = 1 - 2 ab

눈여겨볼 점 두 판별식 모두 $a^{2} b^{2}$ 이 깨끗이 소거되어 $ab$ 하나만 남는다. 그래서 미지수가 $a, b$ 둘이어도 사실상 $ab$ 하나짜리 문제다.

"교점 3개"를 판별식으로 옮긴다

$3 = 2 + 1$ 이므로 한쪽만 판별식이 0이어야 한다.

8 ab + 1 = 0 \Rightarrow ab = - \frac{1}{8} 또는 1 - 2 ab = 0 \Rightarrow ab = \frac{1}{2}

두 경우 모두 나머지 직선과는 실제로 두 점에서 만난다. 그래서 아직 하나로 못 정한다 — 조건 (가)가 필요하다.

왜 다른 조합은 안 될까 $- \frac{1}{8} < ab < \frac{1}{2}$ 면 $2 + 2 = 4$ 개, 그 밖이면 $2 + 0 = 2$ 개가 되어 3개가 나오지 않는다.

조건 (가)로 하나를 고른다 — 근을 구하지 말 것

접하는 쪽의 중근을 $x_{T}$ 라 하면, 두 경우 모두 계산해보면 $x_{T} = - b$ 가 나온다. 나머지 두 근은 근과 계수의 관계로 부호만 본다.

(두 근의 합) = - \frac{( 일차항 계수 )}{( 이차항 계수 )}, (두 근의 곱) = b^{2} > 0

곱이 항상 양수이므로 두 근은 같은 부호다. 그러니 합의 부호만 보면 된다.

$a < 0$ 임을 기억하자. $ab = - \frac{1}{8}$ 이면 $b > 0$ 이라 $x_{T} = - b < 0$ 이고 나머지 둘은 양수 → 곱이 음수라 탈락. $ab = \frac{1}{2}$ 이면 $b < 0$ 이라 $x_{T} = - b > 0$ 이고 나머지 둘은 음수 → 곱이 양수.

∴ ab = \frac{1}{2}, b < 0, a = \frac{1}{2 b}

시간 절약 근을 직접 구하면 근호가 나와 계산이 길어진다. 합과 곱의 부호만으로 판정이 끝난다.

조건 (나)로 $b$ 를 구한다 — 이 문제의 승부처

세 중심은 각자 이등분선 위에 있다. 그러니 $f (x_{i})$ 를 이차식에 대입하지 말고 직선의 식으로 읽자.

x_{1}, x_{2} 는 y = \frac{x}{2} 위 ⟹ f (x_{1}) + f (x_{2}) = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} x_{3} = - b 는 y = - 2 x 위 ⟹ f (x_{3}) = - 2 (- b) = 2 b

㉠에서 두 근의 합은 $\frac{4 ab + 1}{2 a}$ . 여기에 $ab = \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2 a} = b$ 를 넣으면

x_{1} + x_{2} = (4 ab + 1) \cdot \frac{1}{2 a} = 3 \cdot b = 3 b

이제 (나)에 모두 넣는다.

\frac{3 b}{2} + 2 b = \frac{7 b}{2} = - 7 ⟹ b = - 2, a = \frac{1}{2 b} = - \frac{1}{4}

핵심 스킬 점이 직선 위에 있으면 $y$ 값은 직선의 식으로 읽는다. $f$ 에 대입했다면 근호가 잔뜩 나왔을 계산이 일차식 한 줄로 끝난다.

답 구하기

$f (x) = - \frac{1}{4} (x + 2)^{2}$ 이므로

f (4) = - \frac{1}{4} \cdot 6^{2} = - 9 f (6) = - \frac{1}{4} \cdot 8^{2} = - 16

답

f (4) \times f (6) = (- 9) \times (- 16) = 144

4정말 맞는지 확인해보기

$a = - \frac{1}{4}, b = - 2$ 이면 $f (x) = - \frac{1}{4} (x + 2)^{2}$ . 세 중심을 직접 구해보자.

✓㉠ $y = \frac{x}{2}$ : $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ → $x = - 3 \pm 5$ 둘 다 음수
✓㉡ $y = - 2 x$ : $x^{2} - 12 x + \dots$ 대신 중근 $x = - b = 2$ 접함(1개) → 모두 3개
✓(가) $x_{1} x_{2} x_{3} = (- 3 - 5) (- 3 + 5) \times 2 = 4 \times 2 = 8 > 0$
✓(나) $f$ 값은 $- \frac{3 + 5}{2}, - \frac{3 - 5}{2}, - 4$ → 합 $= - 3 - 4 = - 7$ , 평균 $= - \frac{7}{3}$

주황 곡선이

y = f (x)

. 보라 점선

y = \frac{x}{2}

와는 두 점(

x_{1}, x_{2}

)에서, 초록 점선

y = - 2 x

와는

x_{3} = 2

에서 접한다. 세 원 모두

x

축과 직선

y = \frac{4}{3} x

에 동시에 접한다.

5이런 실수를 조심하자

이등분선을 하나만 구하기 $∣ y ∣ = \frac{∣4 x - 3 y ∣}{5}$ 에서 절댓값을 벗기면 직선이 두 개 나온다. 하나만 쓰면 원이 3개가 되는 경우를 못 찾는다.
무게중심 조건에서 $\times 3$ 을 잊기 무게중심의 $y$ 좌표가 $- \frac{7}{3}$ 이면 합은 $- 7$ 이다. 합을 $- \frac{7}{3}$ 으로 쓰면 $b = - \frac{2}{3}$ 같은 엉뚱한 값이 나온다.
(가)를 확인하려고 근을 직접 구하기 근에는 근호가 들어 있어 시간이 많이 든다. 합·곱의 부호만 보면 5초면 판정된다.
중근을 $x_{T} = b$ 로 착각하기 두 근의 곱이 $b^{2}$ 이라 $x_{T} = \pm b$ 인데, 합을 확인하면 $x_{T} = - b$ 다. 부호 하나가 답을 바꾼다.

★두 직선에 동시에 접하는 원의 중심 ⟹ 각의 이등분선 위. 거리공식 한 줄이면 자취가 나온다.
★"개수" 조건은 판별식 경계에서 생긴다. $3 = 2 + 1$ 처럼 홀수면 반드시 어딘가에서 접한다.
★점이 직선 위에 있으면 $y$ 값은 직선의 식으로 읽자. 이 문제에서 계산량을 가장 크게 줄여주는 한 수다.

가우스수학전문학원